层次分析法是什么(层次分析法例题详解)

可以说大大小小的决策问题包围了我们的一生，小的决策如今天起床后穿什么衣服，晚饭吃什么菜；大的决策如该买哪里的房子，假期该去哪里旅游，选择升学志愿等等。在我们做出决策以前，必须考虑很多方面的指标或者判断准则，最终通过这些准则作出选择。

这些指标是相互制约、相互影响的,而且很多指标是定性的、半定性、半定量的问题，多指标之间的比较往往无法用定量的方式描述。为了利用好计算机，实现人工智能，我们需要将影响决策的指标转化为定量计算问题。层次分析法是解决这类问题的行之有效的方法。

层次分析法简称AHP，在20世纪70年代中期由美国运筹学家托马斯·塞蒂正式提出。是一种定性和定量相结合，把研究对象作为一个系统，将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，通过逐层比较各种关联因素的重要性来为分析以及最终的决策系统提供定量的依据。用构造并求解判断矩阵特征向量，归一化后，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。

上面说的过于抽象，下面我们用一个买房子的实例来一步步了解层次分析法。

第一步，建立评价模型。

首先确定目标层、准则层、方案层。如下图，其中准则层可构建多层，将有关的各个指标按照不同属性自上而下的分解成若干层次，由于计算方法都是一样，现在我们以两层次为例。图中方案层表示有B1、B2、B3三个小区可供我们选择，而准则层暂分为两层，第一层有价格、交通、周边设施、装修、户型等指标，第二层表示周边设施下含有教育、医疗、购物、环境等指标。同样的，价格、交通等指标也可以构建第二层指标，在此省略了。目标层则是我们最终决定买的小区。

第二步，构造成对比较矩阵

从最底层开始，确定同层指标重要性的比较分值。采用的方法为将指标两两对比，可以按照下面的原则赋予分值。

分值

含义

1

表示两个指标相比，具有同样重要性。

3

表示两个指标相比，一个因素比另一个因素稍微重要。

5

表示两个指标相比，一个因素比另一个因素明显重要。

7

表示两个指标相比，一个因素比另一个因素强烈重要。

9

表示两个指标相比，一个因素比另一个因素极端重要。

2、4、6、8

上述两相邻判断的中值。

倒数

指标i与j比较的判断分值aij，则指标j与i比较的分值aji=1/aij。

由于每个人的认知和感受会有不同，所以每个人赋予的分值可能不完全一样。一般做法可以多找一些人或多个专家共同打分，采用一个相对认知度比较高的方案，则最终的决策会有较好的一般性。由于本文只是学习介绍，成对比较矩阵是我个人打的分值，所以最后的决策可能仅适合我自己。

教育

医疗

购物

环境

教育

1

1

9

5

医疗

1

1

9

5

购物

1/9

1/9

1

1/3

环境

1/5

1/5

3

1

表一 成对比较矩阵

成对比较矩阵的特点：aij＞0；当i=j时，aij=0；aij=1/aji。

第三步：检验成对比较矩阵的一致性。

从理论上分析，上述矩阵应该是完全一致的。即：

aijajk=aik，1≤i，j，k≤n。

如a12表示教育/医疗的分值为1，a23表示医疗/购物的分值为9，则

a12a23=（教育/医疗）×（医疗/购物）=教育/购物=1×9=9。

但由于构造成对比较矩阵时具有评判者的主观性，要全部满足上述众多等式是不可能的。

如a14表示教育/环境的分值为5，a43表示环境/购物的分值为3，则

a14a43=（教育/环境）×（环境/购物）=教育/购物=5×3=15≠9。

因此我们只能退而求其次，可以允许成对比较矩阵存在一定程度的不一致性，但必须在限度范围内。所以构造了成对比较矩阵后还应进行一致性检验。

理论推导可得：如果完全一致的成对比较矩阵，其绝对值最大的特征值等于该矩阵的维数。成对比较矩阵的一致性要求，转化为要求成对比较矩阵的绝对值最大的特征值和该矩阵的维数相差不大。

检验成对比较矩阵一致性的步骤如下：

1.计算成对比较矩阵的最大特征值。

在实践中，可采用下述方法计算成对比较矩阵A=[aij]的最大特征值λmax(A)和相应特征向量的近似值。

上式可以近似地看作A的对应于最大特征值的特征向量。

可以近似看作A的最大特征值。实践中可以由λ来判断矩阵A的一致性。

2.计算衡量一个成对比较矩阵A（n＞1阶方阵）不一致程度的指标CI：

3.计算平均随机一致性指标RI:

对于固定的矩阵阶数n，随机构造成对比较矩阵A，其中aij是从1，2，…，9，1/2，1/3，…，1/9中随机抽取的，这样的A一般是不一致的，取充分多的样本得到A的最大特征值平均值。

注：从上表可查出平均随机一致性指标RI，它只与矩阵阶数n有关。

4.按下面公式计算成对比较矩阵A的随机一致性比率CR：

判断方法如下：当CR＜0.1时，判定成对比较矩阵A具有满意的一致性，或其不一致程度是可以接受的；否则就调整成对比较矩阵A，直到达到满意的一致性为止。

例如对表一得矩阵：

计算得特征向量，也就是权重向量：

λ=4.061，CI=0.02；

查表得：n=4，RI=0.9，则

则比较矩阵不是一致阵，但具有满意的一致性。

第四步：指标值的量化

定量指标可直接应用其数值或上述方法具体赋值。例如购物，我们可直接用其与最近的综合商场的距离具体赋值，或重复第一步至第三步得到比较矩阵，并计算得到权重向量即为指标值的量化数值。

假设三个小区分别与最近的综合商场的距离为0.5公里、1公里、3公里，则三个小区购物指标值为（0.5，1，3）。

定性指标应用第一步至第三步的方法赋值。例如教育，我们得到比较矩阵，并计算得到特征向量（权重向量）即为指标值的量化数值。具体做法如下：

先成对比较三个小区的周边得教育情况，例如小区周边是否有幼儿园、小学、中学等因素，得成对比较矩阵

计算得C1的特征向量为：(0.082,0.236,0.682)。则其指标值为(0.082,0.236,0.682)。

第五步：指标值的规范化

通常指标分为四类：一类是数值越大越好（称为极大型指标），比如身高、工资等。一类是数值越小越好（称为极小型指标），比如个人买房，则房价越低越好。一类是数据越居中越好（称为居中型指标），比如某螺丝钉的直径。另一类是数据是在一个区间范围内就好（称为区间型指标），比如人体的温度。由于数据具有不同的类型及赋值方法，所以不可以马上进行比较，必须结合指标的类型分别设定转换函数，将所有指标数值转化为[0，1]之间的规范值。采用先计算指标值再规范化的处理方法，将不同性质的指标转化为可以同度量的指标。

指标值规范化的相关方法有机会再详细介绍！本文将直接计算有关结果。

例如上述三个小区购物指标为（0.5，1，3），且此指标为极小型指标。我们可用下面的方法进行指标值规范化。

其中x*为规范化后的值。则购物指标（0.5，1，3）规范化后为（1，0.8，0）且变为极大型指标。

三个小区教育指标为(0.082,0.236,0.682)， 此指标为极大型指标。用下面的方法进行指标值规范化。

则教育指标(0.082,0.236,0.682)规范化后为（0，0.257，1）且仍为极大型指标。

同理，我们可计算出医疗指标规范化后为（1，0.288，0），为极大型指标。

交通指标为（0.658，1，0），为极大型指标。

环境指标为（0.558，0，1），为极大型指标。

第六步：上层指标值的量化

通过前面的计算，我们已经获得了下表。

教育

医疗

购物

环境

权重

0.422

0.422

0.041

0.116

B1小区得分

0

1

1

0.588

B2小区得分

0.257

0.288

0.8

0

B3小区得分

1

0

0

1

周边设施指标最后的总得分便是它下层指标的加权平均和：

B1小区周边设施指标得分=0×0.422+1×0.422+1×0.041+0.658×0.116=0.531；

B2小区周边设施指标得分=0.257×0.422+0.288×0.422+0.8×0.041+0×0.116=0.263；

B3小区周边设施指标得分=1×0.422+0×0.422+0×0.041+1×0.116=0.538。

同理，重复第一步至第六步我们也可以计算出价格、交通、周边设施、装修、户型等指标的权重和价格、交通、装修、户型等指标量化分值。就可以计算出B1、B2、B3小区的买房指标量化分值，最后分数最大的就是我们的选择。